高等数学（一）

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< 高等数学太好玩啦！ >
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1.实数

1.有理数与无理数

1. 自然数N:1,2,3,…,

2. 整数Z:…,-3,-2,-1,0,1,2,3**,**…

3. 有理数Q:有穷小数或无穷循环小数,可用分数表示为

命题：$\sqrt3$不是有理数

所以$m$一定是3的倍数。令$m=3k$,则有

可见$n$也是3的倍数。

总之，可得3是$m$和$n$的公约数，这与$(m,n)=1$相矛盾。 所以$\sqrt{3}$不是有理数。

4. 无理数:无穷不循环小数,如

​ •一个无理数是一串有理数逼近的结果.

​ 如果$\alpha=m.a_1a_2...a_n...$是正的无理数， ​ $\alpha_n=m.a_1a_2...a_n$是有理数，则$\mid\alpha-\alpha_n\mid<10^-n.$

5. 实数$R$: 有理数$Q$和无理数.

6. 数域:对加减乘除运算封闭的数的集合.例如有理数集合$Q,实数集合R$.

2.实数集合R的基本性质

1. $R是一个数域(对加减乘除运算封闭);$

2. $对乘法与加法满足交换律,结合律与分配律;$

3. $实数域是一个有序数域:任意两个不同的数都有大小关系;$

4. $实数域的完备性(连续性):一串实数如有极限,则极限仍是实数(实数布满整个数轴).$

​ 注意:有理数Q满足性质(1)-(3),但对极限运算不封闭. $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$

5. 命题:在实数域中,任意一个单调有界序列${a_n}$一定有极限存在.
   • 单调递增: $a_n≤a_n+1$;
   • 单调递减:$a_n≥a_n+1$;
   • 有界:存在$M,|a_n|≤M$ ,n=1,2,…,
     • 如序列$1+2^{-n},有|1+2^{-n}|<2$,是严格单调递减序列.**

2.变量与函数

2.2 初等函数

1. 初等函数:将基本初等函数经过有限次四则运算与复合所得的函数

2. 基本初等函数(6类)

   1. 常数函数:$y=C ∈ R$

   2. 幂函数：$y = x^{\alpha}$

   3. 指数函数： $y = a^x$ (a>0, x!=1), $x \in R$

   4. 对数函数：

   5. 三角函数：

      • $\csc(x)$ $\sec(x)$ $\cot(x)$

      

   6. 反三角函数：

   7. 

2.3 映射

2.3.1 满射：

若映射 $f{:}E\to F$的像集合 $f(E)=F$ 则表明$F$中的 每一点都是一个像点这时我们称$f{:}E\to F$为满射 .

2.3.2.单射 (一一映射 ):

若映射 $f{:}E\to F$具有下列性质：

2.3.3.逆映射

2.4.序列极限

则我们称序列${a_n}$以$l$为极限，记作$\lim_{n\to \infty}a_n=l$

证明：$\lim_{n\to \infty}\frac 1{n^{\alpha}}=0(\alpha>0).$

求：$a_n=\sqrt{2+a_{n-1}},a_1=2的数列极限$.

设$a_n数列极限为A,有\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2+\lim_{x\to \infty}a_{n-1}}\Rightarrow A=\sqrt{2+A}，解得A=2$

夹逼定理：设$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$为三个序列，且存在一个正整数$N_0$,使得$c_n\leq a_n\leq b_n,\quad \forall n \geq N_0$，若$\{a_n\}和\{b_n\}$存在且等于$l$,则$\{a_n\}$极限也等于$l$.

定理3： 设序列 $\{a_n\}$ 及 $\{b_n\}$ 分别有极限 $l_1$ 及 $l_2$，并且存在正整数 $N_0$，使得 $ a_n \geq b_n, \quad \text{只要} \ n > N_0, $ 则 $ l_1 \geq l_2 $.

海涅定理：$\lim_{n\to\infty}a_n=l \Leftrightarrow \forall \{a_nk\}\sub \{a_n\},\quad \{\lim_{k \to \infty} \} = l$, 即若两个子序列极限不同，则原序列无极限

一个重要极限：$\lim_{n\to \infty}(1+\frac 1n )^n=e$ ,$\lim_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n=\frac1e$,$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 一般地：

1. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$
2. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\varphi(x))}{\varphi(x)}=1,当\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0时$
3. 有界量乘无穷大或无穷小都是无穷大/小，无穷大量一定是无界量，无界量不一定是无穷大量。

2.4.1.无穷大量

此时不收敛，为发散。

2.5.间断点

若$y=f(x)再 x=x_0 处出现如下三种情况之一，则称 x_0 为 y=f(x)$ 的间断点:

1. $y=f(x)在点 x_0 处无定义$
2. $y=f(x)在点 x_0 处有定义，但 \lim_{x→x_0}f(x) 不存在$
3. $y=f(x)在点 x_0 处有定义，但 \lim_{x→x_0}f(x) 存在，但 \lim_{x→x_0}f(x)≠f(x)$

2.5.1.第一类间断点

第一类间断点也叫有限型间断点，其特点是左右极限均存在.

可去间断点

跳跃间断点

2.5.2.第二类间断点

第二类间断点左右极限至少有一个不存在。注：除了第一类间断点其余均为第二类间断点。

无穷间断点

在该点可以无定义，且左右极限至少有一个不存在，且改函数在该点极限为∞。

震荡间断点

在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值再两个常数之间变动无限多次。此时左右极限均不存在。如$\lim_{x\to 0}\sin{\frac1x}$

2.6.渐近线

1. 铅直渐近线 若 $\lim_{x \to c} f(x)$ 与 $\lim_{x \to c} f(x)$ 至少有一个为无穷大，则称 $x = c$ 为曲线 $y = f(x)$ 的铅直渐近线。

2. 水平渐近线 若 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ 或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$，其中 $b$ 为常数，则称 $y = b$ 为曲线 $y = f(x)$ 的水平渐近线。

3. 斜渐近线 若 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k$ 存在且不为零，同时 $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - kx] = b$ 也存在（或 $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = k$ 存在且不为零，同时 $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - kx] = b$ 也存在），则称 $y = kx + b$ 为曲线 $y = f(x)$ 斜渐近线。

渐近线的定义即是渐近线的求法。

1. 首先找垂直渐近线，这只需要找出函数所有的无穷间断点就可以了（按照求间断点的方法，先找所有“可疑点”，再一一判断）；
2. 再分别对x趋近正无穷和趋近负无穷求斜渐近线（注意这里是把水平渐近线看做特殊的斜渐近线的）.

3.不定积分

3.1.求导法则

3.1.1.高阶导数和高阶积分

例4 设函数 $y=x^2\sin x$,求 y 的五阶导数. 解 注意到$(x^2)^{(k)}\equiv0(k>2)$,由莱布尼茨公式得到

TODO:高阶导数和高阶积分

3.2.等价无穷小

等价无穷小的适用条件：整体乘除可换，加减有的凑巧可以，有的不行。

1. $$\lim\frac{\alpha-\beta}\gamma=\lim\frac{\alpha-\beta^\prime}\gamma=\lim\frac{\alpha^\prime-\beta}\gamma=\lim\frac{\alpha^\prime-\beta^\prime}\gamma $$
2. $$\lim\frac{\alpha+\beta}\gamma=\lim\frac{\alpha+\beta^\prime}\gamma=\lim\frac{\alpha^\prime+\beta}\gamma=\lim\frac{\alpha^\prime+\beta^\prime}\gamma $$

3. 若$\alpha \neg \alpha ^{\prime }, \beta - \beta ^{\prime }$, $\phi \neg \phi ^{\prime }$, $\varphi \neg \varphi ^{\prime }$, 且$\lim\frac\alpha\beta=A\neq1$,$\lim\frac\phi\varphi=B\neq1$则

   $$\lim\frac{\alpha-\beta}{\phi-\varphi}=\lim\frac{\alpha^\prime-\beta^\prime}{\phi^\prime-\varphi^\prime}$$$$\begin{aligned}&\lim\frac\alpha\beta=\lim\frac{\alpha^{\prime}}{\beta^{\prime}}\\&\lim\frac\alpha\beta\gamma=\lim\frac{\alpha^{\prime}}{\beta^{\prime}}\gamma\\&\lim\alpha\gamma=\lim\alpha^{\prime}\gamma\end{aligned}$$

4. 特此强调，$\lim(\tau+\alpha\nu)$一般不等于$\lim(\tau+\alpha^\prime\nu)$ 如：

   1. $\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sin x}{\sqrt{1+x}-1}=\lim_{x\to0}\frac{2x-x}{\frac x2}=2$(使用原则(1))
   2. $\lim_{x\to0}\frac{x+\tan x}{e^x-1}=\lim_{x\to0}\frac{2x}x=2$(使用原则(2)
   3. $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-\sin2x}{x-\sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{x-2x}{x-3x}=\frac12$ (使用原则(3))
   4. $\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)\left[x-\ln\left(1+\tan x\right)\right]}{\sin^4x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}2[x-\ln\left(1+\tan x\right)]}{x^4}$ $=\frac12\lim_{x\to0}\frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2}={\text{洛必达2次}}=\frac14$(使用原则(4))
   • 错解：(使用原则(5)易知错误) $$\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac{\ln\left(1+x\right)}{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac x{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1x\right)=0$$
   • 正解： $$\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac{\ln\left(1+x\right)}{x^2}\right)=\lim_{x\to0}\frac{x-\ln\left(1+x\right)}{x^2}\frac{\text{表例公式}}{\lim_{x\to0}\frac{x-\left(x-\frac12x^2+o\left(x^2\right)\right)}{x^2}}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\frac12x^2+o\left(x^2\right)}{x^2}=\frac12\end{aligned}$$

3.3 隐函数求导

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。

求导法则

• 方法1：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导
• 方法2：隐函数左右两边先对x求导，但是一定要把y看成是x的函数
• 方法3: 利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求值

4.定积分

4.1.黎曼和*

$$ \text{设函数 } f(x) \text{ 在区间 } [a, b] \text{ 上有定义，分割区间 } [a, b] \text{ 为 } n \text{ 个子区间：} a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b\

\text{记每个子区间的长度为 } \Delta x_i = x_i - x_{i-1}\ \text{，在每个子区间 } [x_{i-1}, x_i] \text{ 内选择一点 } \xi_i \in [x_{i-1}, x_i] \text{，则黎曼和定义为：} S = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$

写出函数$y=x^2$在区间$[0,1]$上的黎曼和，其中分割为$n$等分，中间点$\xi_i$为分割小区间的左端点，求出当$n\to \infty$时的黎曼和的极限。

解：$s_n=\sum^{n-1}_{i=0}\frac{i^2}{n^2}\cdot \frac1n=\frac1{6n^3}(n-1)n(2n-1)=\frac16(1-\frac1n)(2-\frac1n)\to\frac13(n\to\infty)$

4.2.变上限积分

积分中值定理：如果函数f (x)在闭区间 [a, b]上连续，那么存在一个点c，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$

变上限积分：对于$F_0(x)=\int_a^xf(t)dt$有$F'_0(x)=f(x),\quad\forall x \in(a,b).$

一个连续函数的变上限积分就是该函数的一个原函数，即$\frac{d}{dx}[\int^{x}_af(t)dt]=f(x)$

一般的$\frac{d}{dx}[\int^{\varphi(x)}_af(t)dt]=f[\varphi(x)]\varphi'(x)$

可以使用换元变t

5.不定积分的换元法

5.1.第一换元法（凑微分）

若有$\frac{d}{dx}F(\varphi(x))=f(\varphi(x))\varphi'(x),$于是有$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=F(\varphi(x))+C$

5.2.不定积分常用技巧

*(见习题3.1绝望35题)

1. 凑微分

   • 分子分母同乘同除

2. 常用不定积分嗯套

3. 拆分子，分别求积分
4. 分母使用第二换元，dx替换为dt
5. 升幂降幂公式&和差化积积化和差&诱导公式
6. 三角换元，后用三角替换回来
7. 配方，构建完全平方式
8. 变化为分母为高阶项，分子为高阶减一项后裂项
9. 用极坐标或者参数方程给多元函数降元

5.3.有理式和三角函数的不定积分

5.3.1.有理式的不定积分

例题见课本，不想抄了。

5.3.2.三角函数的有理式的不定积分

注意：这有时候有效，有些时候则过于麻烦，可以直接换元.

5.4.分部积分法TODO:做题技巧

注意有时候可用递推公式，得出通解

6.积分的应用

6.1.求曲线的弧长

关键为求弧微分，描述弧长与某个变量（例如参数变量）之间的对应关系。

同理，有

6.2.旋转体体积，侧面积求解

6.2.1:旋转法

对于一个绕x轴旋转的旋转体，其体积为$V=\,\sum_{i=1}^n\Delta V_i \approx\,\pi\sum_{i=1}^n(f(\xi_i))^2\Delta x_i $

6.2.2.柱壳法

6.2.3.旋转体的侧面积

6.2.4.古鲁丁定理

平面上一条质量分布均匀的曲线弧绕一条不通过他的直线轴旋转一周所形成的旋转面的面积恰好等于它的质心绕同一轴旋转所得圆周长乘以曲线弧长

求由圆周 $x^2+(y−h)^2=(h>r>0)$ 绕$x$ 轴旋转一周所形成圆环面的面积。

6.2.5.极坐标下图形的面积

7.泰勒级数

7.1.积分中值定理，罗尔中值定理，微分中值定理,柯西中值定理,洛必达法则

积分中值定理：$如果函数f (x)在闭区间 [a, b]上连续，那么存在一个点c，使得\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$

微分中值定理又称拉格朗日中值定理

洛必达法则：遇到$0^0,1^{\infty},\infty^0$未定型可通过取对方式

遇求实根存在等题可以使用

7.2.泰勒公式

泰勒展开的相关技巧

• 将要分解的公式拆分为上述泰勒公式后套公式，如将$\ln{\frac{1-x}{1+x}}$分解为$\ln(1-x)-\ln(1+x)$,或者将$\frac{x^2+2x-1}{x-1}$分解为$(x^2+2x-1)\cdot (1-x)^{-1}$
• 对要分解的式子求导，得到可以用上述泰勒公式替换的导函数，最后再求积

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$$ (\sin^2 x)'=\sin{2x}\\ \sin2x=2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(2x)^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})\\ \sin^2x=x^2-\frac{(2x)^4}{2\cdot 4!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(2x)^{2n}}{2\cdot2n!}+o(x^{2n+1}) $$

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• 将其他式子替换$x$，如在计算$\cos x^3$时用$x^3$替换$x$带入$\cos$方程，计算$\sqrt{1-2x+x^3}$时用$(-2x+x^3)$替换$x$带入$(1+x)^{\alpha}$
• 泰勒展开

7.3.函数的凹凸性

7.3.1函数凹凸性的定义 设函数$f(x)$在区间$I$上连续。

1. 凹函数：若对于区间$I$内的任意两点$x_1$，$x_2$，以及任意实数$\lambda\in(0,1)$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$是区间$I$上的凹函数。

2. 凸函数：若对于区间$I$内的任意两点$x_1$，$x_2$，以及任意实数$\lambda\in(0,1)$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$是区间$I$上的凸函数。

7.3.2函数凹凸性的判定方法

• 二阶导数法：设函数$f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。

  • 若$f''(x)>0$，则$f(x)$在区间$I$上是下凸(凹)函数；
  • 若$f''(x)<0$，则$f(x)$在区间$I$上是上凸(凸)函数。

7.3.3.注意事项

1. 函数的凹凸性是函数在某一区间上的整体性质，而不是在某一点的性质。
2. 函数的凹凸性与函数的单调性没有必然的联系。

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8.向量代数与空间解析几何

8.1.向量代数

叉乘运算满足一下规律：

1. $a \times b=-b\times a$（反交换律）

2. $\lambda(a\times b)=(\lambda a)\times b =a \times(\lambda b)$（与数乘的结合律）

3. $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$（分配律）

$$ a\times b=|a|\cdot|b|\sin\\ a与b共线\Longleftrightarrow a\times b=0\\ a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a) \,用于计算同一平行六面体的体积 $$

8.2.向量的空间坐标

$$ i\times j =k,\quad j\times k=i,\quad k\times i=j\\ 单位向量a^0=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)\\ a_1\times a_2=\begin{vmatrix} i &j&k\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix} =(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k $$

8.3.空间中平面与直线的方程

8.3.1.平面的方程

$$ 点P_0(x_0,y_0,z_0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\ n=(A,B,C)\Rightarrow\begin{cases}1.平面过原点\leftrightarrow D=0\\ 2.\pi//x轴\leftrightarrow A=0，其余轴线同理\\ 3.A=B=0\leftrightarrow \pi // xy平面，其余同理\\ 4.A=B=D=0\leftrightarrow \pi//Oxy平面\end{cases} \\ 截距式方程： \frac x{-\frac DA}+\frac y{-\frac DB}+\frac z{-\frac DC} = 1(分母分别是xyz轴截距) $$

8.3.2.直线的方程

$$ 两面式=\begin{cases} A_1 x+B_1 y+C_1z+D_1=0\\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \end{cases}\\ 参数方程=\begin{cases} x-x_0=ta,\\ y-y_0=tb,\quad(-\infty将两面式化简为标准方程：

1. 由两平面法向量求出直线方向向量
2. 将两平面消元只剩3个变量
3. 尝试带入任意值，比如x=0求解得出直线D值

8.4.二次曲面&空间曲线的切线与弧长

九种典型方程及其运动轨迹

8.4.1.求交线，投影线

如直线求交点，用两平面相加减消元

投影也是消元：如在Oxy平面投影，则可消z，若有方程没有z变量，则可直接带入。

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$$ \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1\quad(1)\\ z^2=2y\quad\quad\quad\quad\quad(2) \end{cases} $$$$ 将在z^2=2y代入(1)式：x^2+y^2+2y=1 $$

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8.4.2.空间曲线的切线和弧长

$$ \begin{cases} x=x(t_0)+ux'(t_0)\\ y=y(t_0)+uy'(t_0)\\ z=z(t_0)+uz'(t_0) \end{cases} $$$$ s=\int_{a}^{b}|r'(t)|dt=\int^{b}_a\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2} $$

过点$r(t_0)$且与该店处切向量$r'(t_0)$垂直的平面称为曲线在该点的法平面。

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9.多元函数微分学

9.1.多元函数

定义域：是多元自变量共同决定的定义域

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如E=$\frac{1}{1-x^2-y^2}$，则定义域就是$x^2+y^2\neq1$

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9.1.1.$R^n$中的距离邻域及开集

1. 三角不等式：

$$ d(P,Q)\leq d(P,R)+d(P,Q),\quad \forall R \in R^n $$

2. 定义点$P_0$的r邻域：

$$ U_r(P_0)=\{P\in R^n|d(P_0,P)​ n=1，为开区间；n=2，为开圆；n=3，为开球。

​ 我们将$R^n$中的点分为三种：E的内点、外点与边界点。

​ 内点:$U_r(P)\subset E$

​ 外点:$U_r(P)\cap E=\emptyset$

​ 既非E内点也非外点称作边界点，记作$\part E $

3. 开集

   集合E是开集的充要条件是E中没有边界点

   一个集合E包含着他的全部边界点，称作闭集$\overline{E}$

   若E（可通过曲线折线直线）联通，则称E为$R^n$中的(开/闭)区域

9.2.多元函数的极限

9.2.1.极限的定义TODO：技巧

$$ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta $$

时，就有 $ |f(x, y) - A| < \epsilon $，则称当点 $ (x, y) $ 趋向于点 $ (x_0, y_0) $（记作 $ (x, y) \to (x_0, y_0) $）时，$ f(x, y) $ 以 $ A $ 为极限，记作 $ \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} f(x, y) = A $ 有时也写成 $ \lim_{{x \to x_0 \atop y \to y_0}} f(x, y) = A $。

$$ |x - x_0| < \delta, \quad |y - y_0| < \delta, \quad \text{且} \quad (x, y) \neq (x_0, y_0) $$$$ |f(x, y) - A| < \epsilon, $$

则称当 $ (x, y) \to (x_0, y_0) $ 时，$ f(x, y) $ 以 $ A $ 为极限。

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定义一和定义二是等价的。

通过定义证极限存在：

1. 通过基本不等式放大:$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2 \geq \frac{a+b}2 \geq \sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac 1a +\frac 1b}$

2. 通过定义二

3. 见

证伪：通过指出不同路径，使$P$沿两条路径趋向于点$P_0$时，$f(x,y)$趋向于不同的常数，我们可以断言当$P\to P_0$时，$f(x,y)$没有极限.

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$$ f(x,y)=\frac {|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

是否有极限？

$$ f(x,y)=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+k^2x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}} $$

则不同$k,(x,y)$趋向不同常数，没有极限。该方法可以适用于不同方式换元，一种换元存在另一种不一定存在，故该方法只能证伪不能证实

9.2.2.二元函数极限的运算法则与基本性质

定理 1：$lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=A,\quad lim_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)=B$则，

1. $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}(f(x,y)\pm g(x,y))=A\pm B$
2. $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)g(x,y)=AB$
3. $当B\neq0, \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{A}{B}$

定理 2：较大函数的极限大于或等于较小函数的极限

定理 3：夹逼定理

$$ x_0 = \lim_{{(u, v) \to (u_0, v_0)}} g(u, v), \quad y_0 = \lim_{{(u, v) \to (u_0, v_0)}} h(u, v), $$$$ \lim_{{(u, v) \to (u_0, v_0)}} f(g(u, v), h(u, v)) = \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} f(x, y). $$$$ A = \lim_{u\to u_0}f(u), $$$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)=u_0 $$

则$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(g(x,y))=A.$

9.2.3.累次极限与全面极限

累次极限：$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)=\lim_{x\to x_0}f(x,y_0)$

全面极限：$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$

注意：累次极限的存在和相等并不保证全面极限 $ \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} f(x, y) $ 存在或等于这些累次极限。

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9.3.多元函数的连续性

9.3.1.定义

$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续

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例 2 设函数 $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y^2}{x^4 + y^4}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases} $ 问：$ f(x, y) $ 在何处连续？

解 设 $(x_0, y_0)$ 是任意给定的一点。当 $(x_0, y_0) \neq (0, 0)$ 时，$x_0^4 + y_0^4 \neq 0$，并很容易直接证明

$ \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} (x^4 + y^4) = x_0^4 + y_0^4, $ $ \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} x^2 y^2 = x_0^2 y_0^2. $

应用极限的四则运算法则，我们有

$ \lim_{{(x, y) \to (x_0, y_0)}} f(x, y) = \frac{x_0^2 y_0^2}{x_0^4 + y_0^4} = f(x_0, y_0). $

因此，$ f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续。当 $(x_0, y_0) = (0, 0)$ 时，可以按照类似于上一节例 3 的方法证明 $ f(x, y) $ 的极限不存在。事实上，当点 $(x, y)$ 沿直线 $ y = kx $ ($ k $ 为常数) 趋向于点 $(0, 0)$ 时，

$ f(x, y) \to \frac{k^2}{1 + k^4}. $ 当 $ k $ 取不同值时，上述极限的值也不同。可见，$ f(x, y) $ 在点 $(0, 0)$ 处不连续。

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1. 定理 1：设两个二元函数 $ f(x, y) $ 及 $ g(x, y) $ 在一点 $ (x_0, y_0) $ 处连续，则函数 $ f(x, y) \pm g(x, y) $ 及 $ f(x, y) g(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处也连续。此外，若 $ g(x_0, y_0) \neq 0 $，则函数 $ \frac{f(x, y)}{g(x, y)} $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处连续。

2. 定理 2：设函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 附近有定义且在点 $ (x_0, y_0) $ 处连续，又设函数 $ u = g(z) $ 在点 $ z_0 = f(x_0, y_0) $ 附近有定义且在点 $ z_0 $ 处连续，则复合函数 $ u = g(f(x, y)) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处连续。

3. 定理 3：二元初等函数在其有定义的区域内是连续的。

4. 定理 4 (有界性定理) : 设函数 $ f $ 在有界闭区域 $ \overline{D} $ 上连续，则 $ f $ 在 $ \overline{D} $ 上有界，即存在常数 $ M > 0 $，使得

   $ |f(P)| \leq M, \quad \forall P \in \overline{D}. $

5. 定理 5 (最大值与最小值定理) : 若函数 $ f $ 在有界闭区域 $ \overline{D} $ 上连续，则 $ f $ 在 $ \overline{D} $ 上达到最大值与最小值，即存在点 $ P_1, P_2 \in \overline{D} $，使得 $ f(P) \leq f(P_1), \quad f(P_2) \leq f(P), \quad \forall P \in \overline{D}. $

6. 定理 6 (介值定理) : 设函数 $ f $ 在闭区域 $ \overline{D} $ 上连续，并假定 $ M $ 与 $ m $ 分别是 $ f $ 在 $ \overline{D} $ 上的最大值与最小值，则对于任意的 $ \eta $ ($ m \leq \eta \leq M $)，一定有一点 $ P_0 \in \overline{D} $，使得 $ f(P_0) = \eta $.

9.4.偏导数与全微分

$$ f_y(x_0,y_0),\quad \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y},\quad \frac{\part z}{\part y}\mid_{(x_0,y_0)}或z_x|_{(x_0,y_0)} $$

9.4.1.高阶偏导数

$$ f_{xx}(x,y),\frac{\part^2f}{\part x^2},\frac{\part^2z}{\part x^2}或z_{xx};\quad f_{xy}(x,y),\frac{\part^2f}{\part x \part y},\frac{\part^2z}{\part x \part y}或z_{xy}(先x后y);\\ f_{yx}(x,y),\frac{\part^2f}{\part y \part x},\frac{\part^2z}{\part y \part x}或z_{yx}(先y后x); \quad f_{yy}(x,y),\frac{\part^2f}{\part y^2},\frac{\part^2z}{\part y^2}或z_{yy}; $$

这里$f_{xy}(x,y)及f_{yx}(x,y)$称作二阶混合偏导数，若两混合偏导数在区域D内连续，则两者相等，混合偏导数与次序无关。求高阶偏导就是依次求导数

用$C^n(D)$表示区域D内全体函数$f(x,y)$组成的集合。拉普拉斯算子$\Delta=\frac{\part^2}{\part x^2}+\frac{\part^2}{\part y^2}+\frac{\part^2}{\part z^2}+\cdots$

注意复合函数和多元函数导数的区别！

9.4.2.全微分

$$ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ 可写作：\delta z=A\Delta y+B\Delta y+o(\rho),\quad \rho \to 0\\ 全微分,记作dz。\quad dz=A\Delta x+B\Delta y $$

可微一定连续，可微一定可(偏)导，但反过来不一定成立，连续和可导也没有必然关系，但是对于多元初等函数而言，在其有定的区域内只要偏导存在就一定可微

但是若导函数$f_x(x,y)与f_y(x,y)$在该点某个领域存在，并且两个偏导数在该点处连续，则函数在该点处可微。

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$$ \begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0\\ f_y(0,0)&=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0\\ \Delta u&=|\Delta x \sin\Delta y|\\ 判定可微&:\frac{\Delta u-[f_x(0,0)\Delta x+f_y(0,0)\Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\\ &=\frac{|\Delta x\sin \Delta y|}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}(夹逼定理或者无穷小量乘有界量)\\ &\leq\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\leq \rho \to 0\\ &按照定义，该函数在(0,0)可微 \end{aligned} $$

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连续可导不一定可微：函数 $ f(x, y) = \sqrt{|xy|} $ 在 $(0,0)$ 连续，$ f_x(0,0) $，$ f_y(0,0) $ 存在，但 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 不可微。

证明: $ |f(x, y) - f(0, 0)| = \sqrt{|xy|} \leq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}. $ 对 $\forall \varepsilon > 0$, 取 $\delta = \sqrt{2\varepsilon}$, 当 $\sqrt{x^2 + y^2} < \delta = \sqrt{2\varepsilon}$ 时, $ |f(x, y) - f(0, 0)| < \varepsilon. $ 故 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 连续.

$ f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(0 + x, 0) - f(0, 0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0 - 0}{x} = 0. $

$ f_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{f(0, 0 + y) - f(0, 0)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{0 - 0}{y} = 0. $

$ \Delta z = f(0 + \Delta x, 0 + \Delta y) - f(0, 0) = \sqrt{|\Delta x \Delta y|}. $

$ \lim_{{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta z - f_x(0, 0) \Delta x - f_y(0, 0) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\sqrt{|\Delta x \Delta y|}}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}. $ （不存在）

当 $(\Delta x, \Delta y)$ 沿着 $\Delta y = k \Delta x$ 趋于 $(0, 0)$ 时， $ \lim_{{\Delta x \to 0 \\ \Delta y = k \Delta x}} \frac{\sqrt{|\Delta x \Delta y|}}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{{\Delta x \to 0 \\ \Delta y = k \Delta x}} \frac{\sqrt{|k \Delta x^2|}}{\sqrt{\Delta x^2 + k^2 \Delta x^2}} = \frac{\sqrt{|k|}}{\sqrt{1 + k^2}}. $

$$ 当 (\Delta x, \Delta y) 沿着 \Delta y = k \Delta x 趋于 (0, 0) 时，\\ \lim_{{\Delta x \to 0 \Delta y = k \Delta x}} \frac{{|\Delta x \Delta y|}}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{{\Delta x \to 0 \Delta y = k \Delta x}} \frac{{|k \Delta x^2|}}{\sqrt{\Delta x^2 + k^2 \Delta x^2}} = \frac{\sqrt{|k|}}{\sqrt{1 + k^2}} \neq0.故不连续 $$

连续不一定可导：如一元函数

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9.5.复合函数微分法，一阶全微分的形式不变性与高阶微分

9.5.1.复合函数微分法

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}, \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}. $$

9.5.2.一阶全微分的形式不变性

$$ dz = f_u \, du + f_v \, dv. $$

作为一截全微分的形式不变性的应用，我们给出下列公式：

1. $ d(u \pm v) = du \pm dv $

2. $ d(cu) = c \, du $ (c 为常数)

3. $ d(uv) = v \, du + u \, dv $

4. $ d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \, du - u \, dv}{v^2} $ ($ v \neq 0 $)

5. $ d(f(u)) = f'(u) \, du $

   其中 $ u, v $ 是 $(x, y)$ 的可微函数，$ f $ 是一元可微函数。

9.5.3.高阶微分

$$ d^n(x,y)=(dx\frac{\part}{\part x}+d y\frac{\part}{\part y})^n f $$

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$$ \begin{aligned} \frac{\part u}{\part x} & = f'_{1} \frac{\part \xi }{\part x}+f'_2\frac{\part \eta}{\part x}\\ & =f'_1\cdot e^x\cos y +f'_2\cdot e^x \sin y\\ \frac{\part^2 u}{\part x^2}&=e^x\cos y\cdot(f''_{11}\frac{\part \xi}{\part x}+f''_{12}\frac{\part \eta}{\part x})+e^x\sin y\cdot(f''_{21}\frac{\part \xi}{\part x}+f''_{22}\frac{\part \eta}{\part x})+e^x(f'_1 \cos y+f'_2\sin x)\\ &=e^{2x}(f''_{11}\cos^2 x+f''_{12}\sin y \cos y+f''_{21}\sin y\cos y+f''_{22}\sin^2 y )+e^x(f'_1 \cos y+f'_2\sin x)\\ \frac{\part^2 u }{\part y^2}&=-e^x(f'_1\cos y +f_2' \sin y)+e^{2x}[f''_{11}\sin^2y-\sin y \cos y(f''_{12}+f''_{21}+f''_{22}\cos^2 y )]. \end{aligned} $$

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9.6.方向导数与梯度

9.6.1.方向导数

$$ \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t \cos\alpha, y_0 + t \cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t} $$$$ \left. \frac{\partial z}{\partial \vec{l}} \right|_{(x_0, y_0)}, \quad \left. \frac{\partial f}{\partial\vec{l}} \right|_{(x_0, y_0)}, \quad \left. \frac{\partial z}{\partial \vec{l}} \right|_{P_0}, \quad \text{或} \quad \left. \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} \right|_{P_0}. $$$$ \frac{\part f}{\part \vec{l}}\Bigg|_{P_0}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos\beta\\ \alpha为\vec{l}与x轴夹角，\beta为\vec{l}与y轴夹角 $$

9.6.2.梯度

$$ \mathrm{grad} \, f|_{P_0}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\,) $$

9.7.多元函数的微分中值定理与泰勒公式

9.7.1.微分中值定理

$$ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y) \Delta x-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y) \Delta y. $$

这就是二元函数的拉格朗日中值公式。

9.7.2.泰勒公式

$$ \begin{aligned} f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = &f(x_0, y_0) + \frac{1}{1!} df(x_0, y_0) \\ &+\frac{1}{2!} d^2 f(x_0, y_0) + \cdots + \frac{1}{n!} d^n f(x_0, y_0) \\&+ \frac{1}{(n+1)!} d^{n+1} f(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y), \end{aligned} $$$$ d^k f = \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f, \quad k = 1, 2, \cdots, n+1.\\ R_n = \frac{1}{(n + 1)!} \mathrm{d}^{n+1} f(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y)或者R_n=o(\rho^n) \quad(\rho \to 0)(\quad\rho=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2}\quad) $$

做题技巧：直接将多元视为一元，否则采取嗯求$(x_0,y_0)$处$n$阶的全部高阶偏导

9.8.隐函数存在定理

设函数 $ F(x, y) $ 在点 $ P_0(x_0, y_0) $ 的某个邻域内有定义，并且满足下列条件：

1. $ F(x_0, y_0) = 0 $;

2. $ F_x(x, y) $ 及 $ F_y(x, y) $ 连续，并且 $ F_y(x_0, y_0) \neq 0 $,

$$ f'(x) = -\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)} \quad (y = f(x)). $$$$ \begin{cases} F(x,u,v)=0,\\ G(x,u,v)=0, \end{cases} $$

可确定隐函数$u=u(x)$和$v=v(x)$?

$$ \begin{cases} F(x, u(x), v(x)) = 0, \\ G(x, u(x), v(x)) = 0. \end{cases} $$

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$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - uv = 0, \\ xy + u^2 - v^2 = 0 \end{cases} $$

能否确定 $u$ 和 $v$ 为 $(x, y)$ 的函数？在能确定隐函数的条件下，求 $u_x, v_x, u_y$ 及 $v_y$。

$$ \frac{D(F, G)}{D(u, v)} = \begin{vmatrix} -v & -u \\ 2u & -2v \end{vmatrix} = 2(u^2 + v^2). $$

当 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时，满足所给方程组的 $u, v$ 不同时为零，也就有 $\frac{D(F, G)}{D(u, v)} \neq 0$，从而在点 $(x, y)$ 的某个邻域内能确定隐函数 $u = u(x, y)$ 及 $v = v(x, y)$。

$$ \begin{cases} 2x - u_x v - u v_x = 0, \\ y + 2u u_x - 2v v_x = 0. \end{cases} $$$$ u_x = \frac{4xv - yu}{2(u^2 + v^2)}, \quad v_x = \frac{4xu + vy}{2(u^2 + v^2)}, \quad u^2 + v^2 \neq 0. $$

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雅可比行列式大于零则证明方程于该点的逆映射存在

9.9.极值问题

$$ f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0. $$$$ f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0. $$$$ A=\frac{\part^2f}{\part x^2}(x_0,y_0),\quad B=\frac{\part^2f}{\part x\part y}(x_0,y_0),\quad C=\frac{\part^2 f}{\part y^2}(x_0,y_0). $$

若$B^20时，f(x_0,y_0)是极小值；而当A<0时,f(x_0,y_0)是极大值.$

条件	是否为极值点	极值点类型
$B^2 < AC 且 A > 0$	是	极小值点
$B^2 < AC 且 A < 0$	是	极大值点
$B^2 > AC$	否	不是极值点
$B^2 = AC$	未定	未定

条件极值

$$ z=f(x,y) $$$$ \varphi(x,y)=0 $$$$ \begin{cases} f_x+\lambda \varphi_x=0,\\ f_y+\lambda \varphi_y=0,\\ \varphi(\,x,\,y)=0. \end{cases} $$

三元函数类似。

9.10.曲面论初步

$$ \begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\\ z=z(u,v).\\ \end{cases} $$$$ \vec{r}=\vec{r}(u,v)\equiv (x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\,). $$

只要$\vec{r}_u=(x_u(u,v),\,y_u(u,v),\,z_u(u,v)\,)及\vec{r}_v=(x_v(u,v),\,y_v(u,v),\,z_v(u,v)\,)存在且\vec{r}_u\times\vec{r}_v\neq 0$

9.10.1.曲面的切平面与法向量

$法方向:\vec{n}=(\,F_x(x_0,y_0,z_0),\,F_y(x_0,y_0,z_0),\, F_z(x_0,y_0,z_0)).$

$$ F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0. $$$$ l_1=\begin{cases} x=x(u,v_0),\\ y=y(u,v_0),\\ z=z(u,v_0) \end{cases}\\ 及\\ l_2=\begin{cases} x=x(u_0,v),\\ y=y(u_0,v),\\ z=z(u_0,v). \end{cases}\\ \vec{n}=\vec{r}_u\times\vec{r}_v=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}_{(u_0,v_0)}.\\ \vec{n}=\left( \frac{D(y,z)}{D(u,v)},\frac{D(z,x)}{D(u,v)},\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right ) \bigg|_{u_0,v_0} \\可简易表达为\\ \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}_{(u_0,v_0)}=0. $$

在没有显函数描述xyz关系的时候可以使用上述方法。